Konu anlatımı soru çözümleri

SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleimlerinin eleman sayısına eittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(A)= m , s(B)= n ve A ile Bnin kesiimi boş küme ise birleimin eleman sayısı s(A) + s(B)= m+ n dir.
O halde ayrık iki ilemden biri m yolla dieri n yolla yapılabiliyorsa bu ilemlerden biri veya dieri m + n yolla yapılabilir.

Çarpma Kuralı: n bir sayma sayısı olmak üzere a₁, a₂, a3, ....., a_n ile gösterilen n tane nesne için ( a₁ , a₂ ) ye sıralı ikili, ( a₁ , a₂, a₃ )e sıralı üçlü ... ( a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n)e sıralı nli denir. Sıralı ikililerin kümesini A₂ , Sıralı üçlülerin kümesini A₃ , Sıralı dörtlülerin kümesini A₄ .... eklinde gösterelim. A₁ , A₂ , A₃ , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n₁ , n₂ , n₃ , ... , n_rolsun. Bu durumda s ( A₁.A₂.A₃... A_r )= s(A₁ ). s(A₂). s(A₃ )... s(A_r) = n₁.n₂.n₃ ... n_r olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki ilem için açıklıyalım : iki ilemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk ilem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci ilem n yolla yapılabiliyorsa bu iki ilem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Permütasyon
Bir küme elemanlarının belirli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir(nedir).
r'li permütasyon
r,n € N⁺r ≤ n olması koşulu ile , n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı elemanlı her sıralı r'lisine, A kümesinin r' li permütasyonu denir.
n'li permütasyon
n eleman n yere n! şeklinde sıralanailir.
n! ifadesine , n elemenın n'li sıralası veya n !in n'li permütasyonu denir.
A kümesiin r'li permütasyonlarının sayısı (formülü ) ;
p (n,r) = n ! / (n-r) !

Dönel Sıralama ( Dairesel Permütasyon)
n elemanlı A kümesinin elemanlarının bir çember üzerindeki farklı sıralanmalarının sayısı (n-1)! tanedir

Yinelemeli(Tekrarlı) Permütasyon

n tane nesnenin n₁ tanesi bir türden, n₂ tanesi ikinci türden, ...n_r tanesi r. türden ve n₁+n₂+...+n_r=n ise n nesnenin n li permütasyonlarının sayısı;

*******************************************

Matematikte permütasyon, her sembolün sadece bir kez ya da birkaç kez kullanıldığı sıralı bir dizidir.

Eleman sayısı n olan bir kümenin içinden r kadar eleman seçerek yapılabilecek permütasyonlar aşağıdaki formülle hesaplanır:

$P(n,r) = frac{n!}{(n-r)!}$

Örneğin n elemanlı bir küme için 1'den 10'a kadar olan doğal sayıları alalım. r'yi 4 olarak alırsak, permütasyonların sayısı {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinden sırayı da gözetmek suretiyle oluşturulabilecek 4 değişik elemanlı kümelerin sayısını ifade eder.

Oluşturulacak küme sıralı olduğundan, 4 değişik elemanın olası seçilme şekillerini düşünüp, bu dörtlü dizilerin seçilme şekillerinin sayısını hesaplayabiliriz:

10 elemanlı kümeden seçebileceğimiz 10 tane eleman vardır.
Bir eleman seçtikten sonra bir daha seçilemediğinden, ikinci elemanı seçerken elimizde 9 sayı kalır. Her ilk seçilen 10 eleman için, 9 tane ikinci eleman seçme şansımız olduğundan ikinci elemanı 10 . 9 = 90 ayrı şekilde sıralayabiriz.
Üçüncü elemanı 10 .9 . 8 şekilde sıralayabiriz.
Dördüncü elemanı 10 . 9 . 8 . 7 şekilde sıralayabiriz.
Beşinci elemanı 10 . 9 . 8 . 7 . 6 şekilde sıralayabiriz.

Bunu genelleştirip n ve r değişkenleri ile ifade edersek

İlk eleman için n adet seçenek vardır.
İkinci eleman için n(n-1) adet seçenek vardır.
r kadar eleman seçmek için n(n-1)(n-2)...(n-r+1) adet seçenek vardır ki bu da yukarıda verilen formüle eşdeğerdir.
*****************************************************

Permütasyonun özellikleri ve örnekler:

Tanım : n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r, (r £ n) elemanının herbir sıralanışına A kümesinin r li bir permütasyonu denir. n = r olması durumunda sıralı n lilerin herbirine A kümesinin bir permütasyonu denir.
n elemanlı bir A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı P(n , r) biçiminde gösterilir.

Teorem : P(n,r) = dir. [özel olarak P(n, n) = n! dir.]

Örnek: olur.

Örnek 2: dır.

Örnek 3: A={a, b, c} olduğuna göre, A nın 2 li permütasyonlarının sayısını bulunuz.

A nın 2 li permütasyonlarının sayısı 6 dır.Bunlar:
(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b) dir.

Teorem: E örnek uzayında iki olay ve A ve B olsun. A nın E ye göre tümleyeni A’ olduğuna göre,

P(Ø) = 0
P Ì ise, P(A) £ P(B)
P(A’) =1-P(A)
P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(A ÇB) dir.

Örnek :

Örnek: 5 farklı kitap, 5 kitap konabilen bir kaba kaç değişik biçimde dizlir?
5 5! 5!
P(5,5) = = = = 120 dir.

2. Faktöriyel kavramı:

n Î olmak üzere 1den n ye kadar doğal sayıların çapımına n faktöryel denir ve n! ile gösterilir.
n! ise
n! = n(n-1)(n-2)…1 dir.

0! = 1 , 1! = 1 dir n faktöryelini sorularda kullanabilmek için değişik yazılımlarınıda bilmek gerekir.

Örnek : 5! i değişik biçimlerde yazınız.
5! = 5.4.3.2.1 5! = 5.4.3.2!
5! = 5.4.3! 5! = 5.4!

Örnek : (n-1)! i değişik biçimlerde yazınız.
(n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)!
(n-1)! = (n-1)(n-2)! gibi

3. Genel çarpma kuralı:

Bir işlem a yoldan, bununla ilişkili başka bir işlemde b yoldan yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte a.b yoldan yapılabilir.

Örnek : A = {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin alt elemanlarıyla kaç tane rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 350 den büyük sayı yazılabilir?
İki tablo çizerek çözelim.
4 6 5
4 6 5
+

(4,5,6,7) (3) (5,6,7)
4. Olasılık:

Tanım : İhitmal, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla uğraşır.Raslantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olan olaydır.Örneğin bir parayı havaya attığımızda yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.

Örnek :
Deney : Bir zarın havaya atılması.
Çıkanlar : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Örnek Uzay : E={1,2,3,4,5,6}
A olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmesi.
B olayı : Zarın üst yüzüne 5 gelmemesi.
C olayı : Zarın üst yüzüne 3 gelmesi.
İmkansız Olay : Zarın üst yüzüne 7 gelmesi.
Kesin Olay : Zarın üst yüzüne 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.
Zıt Olaylar : A ve B olayları
Ayrık Olaylar : A ve C olayları

Bir olayın ihtimali :

Evrensel kümeyi “E”, bir olayı “A” ve A olayının ihtimalinide P(A) ile gösterirsek :

ile gösterilir.Diğer ihtimal hesaplarıda bu ifadeye dayanır.
Bir olayın ihtimali sıfır ile 1 arasında bir sayıdır. 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir
a. P(A) = 0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir.
b. P(A) = 1 ise A olayı kesinlikle gerçekleşecek demektir. (Bir zarın 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi.)
P(A) + PA´) = 1, yani bir olay olur veya olmaz demektir.Bu ifadeyi, P(A) = 1 – P(A´) şeklindede düşünebiliriz.
Örnek uzayda gerçekleştirilen olayların ihtimalleri toplamı 1 dir.
A1,A2,A3,…, An olayları için
P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(An) = 1 olur.

Örnek :
Hilesiz bir zar atıldığında, zarın 3 geme olasılığı nedir?
Çözüm :
Zar artıldığında örnek uzay : E={1,2,3,4,5,6}
Ve olay : A={3} dür.

P(A) = = olur.
S(E) 6

Örnek :
Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze tek sayı gelme ihtimali kaçtır?
Çözüm :
Zarın atılmasındaki tüm durumların sayısı 6 dır.İstenilenler 1 veya 3 veya 5 olduğu için, istenilen durum sayısı 3 dür.

P(tek sayı gelme) = = olur.
2
Örnek : 3 para aynı anda masaya atılıyor.Üste gelen yüzlerinin;
a. en az ikisinin yazı gelmesi,
b. birinci paranın yazı gelmesi,
c. her üç paranın aynı olması ihtimali kaçtır?
Çözüm :
Üç paranın atılması deneyinde tüm çıkanların kümesi ,
E = {YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TTY,TYT,TTT} dir.

a. A olayı en az iki yazı gelme olayı A ise,
A={YYY,YYT,YTY,TYY} olur.
P(A) = 4 = 1

b. 1.paranın yazı gelmesi olayı B ise
B={YYY,YYT,YTY,YTT} dir.
P(B) = 4 = 1 dir.

c. Her üç paranın aynı gelme olayı C ise
C={YYY,TTT} olduğundan,
P(C) = 2 = 1

Geçmiş yıllarda çıkmış sorular :

Soru 1: 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (1995 FL)

4! 1! 4! 3!
A) B) C) D)

Çözüm:
4! 4! 1!
Cevap : A

Soru 2: Bir kutudaki 20 kalemden 11’i sağlam, geri kalanıda kırıktır.Kutuya geri atmamak şartıyla arka arkaya çekilen iki kaleminde kırık olma olasılığı nedir? (1995 FL)

A) 9 B) 7 C) 11 D) 18

Çözüm :
20 kalemden 11’i sağlam 9’u kırıktır.
P(A) = s(A) ve çekilen kalemler kutuya geri atılmadığından;

Çekilen 1. kalemin kırık olma olasılığı 9 ,

Çekilen 2. kalemin kırık gelme olasılığı 8 dur.Buradan;

P(A) = 9 8 18
* = olur.
Cevap : D

Soru 3: Bir rafta 5 tane matematik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yanyana sıralanabilir? (1996 FL)
A) 30 B)90 C)1440 D)8640
Çözüm :
Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılamayacağından;
5 Matematik kitabı = 5! şeklinde
2 Edebiyat kitabı = 2! şeklinde
3 Tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır.

MMMM EE TTT

Burada Matematik, Edebiyat ve Tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür; böyle olunca; 3! Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse;
3! . (5! . 2! . 3!) = 8640 olur. Cevap : D

Soru 4: Bir torbada 6 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil top vardır.Torbadan rastgele çekilen 1 topun yeşil olmaması olasılığı kaçtır? (1997 FL)
A) 1 B) 1 C) 2 D) 3

Çözüm :
P(A) = s(A) ve P(A) + P(A’)

P(Y) = 5 = 1
P(Y) + P(Y’) = 1 olduğundan;

1
P(Y’) = 1 P(Y’) = 1- 1 = 2 olur. Cevap : C

Soru 5: n bir doğal sayı olmak üzere;

(n-1)! + n! + (n+1)! işleminin sonucu aşağıdakilerden
hangisine eşittir? (1997 FL)

A) n+1 B) 2n C) n+1 D) n-1

Çözüm :
= (n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)!

= (n-1)! [1 + n + (n + 1)! . n] = 1 + n + n + n

= n + 2n + 1 = (n + 1)

= n + 1 olur. Cevap : A

Soru 6: P(n;4) = 5P(n;3) ise, n’in değeri kaçtır? (1997 FL)

A) 3 B) 4 C) 8 D) 10

Çözüm :
n! = 5. n!

1! = 5 1 = 5

n-3 = 5 n = 8 olur. Cevap : C

PERMÜTASYON VİDEOLU SORU ÇÖZÜMLERİ TIKLA>>