Konu anlatımı soru çözümleri
  eşİtsİzLİkLer
 

EŞİTSİZLİKLER

BASİT EŞİTSİZLİKLER

 

Devirli bir ondalık açılımı olan rasyonel sayılar kümesi ile devirli bir ondalık açılımı olmayan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel sayılar kümesini oluşturur.

 

a < a + 1 < a + 2 şeklindeki ifadelere eşitsizlik ya da reel sayıların sıralaması adı verilir.

 

a ve b iki reel sayı olsun , a ile b arasında ;

 

a < b , a = b , a < b gibi üç farklı durum söz konusudur.

a sayısı , b sayısından küçük ise a < b , a sayısı b sayısından büyük ise a > b şeklinde  gösterilir.

 

REEL SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ

 

1.          Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenirse , ya da her iki yanından aynı sayı çıkarılırsa   yön değişmez.

 

 a < b                 a + c <  b + c

                   a – c <  b – c

 

 a > b                 a + c >  b + c

               a – c >  b –  c

 Örneğin ; - 13 < 4 eşitsizliğinin her iki yanından 5 çıkarırsak :

 

 -13 – 5 < 4 – 5         - 18 < - 1  sıralaması elde edilir.

 

2.       a)   Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir reel sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön  değiştirmez.

       b)   Eşitsizliğin her iki yanı negatif bir reel sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön  değiştirir.

     

  a > b ve c < 0 ise

  a . c < b . c ve

  a  <    b     dir.

                  c        c

 

          Örneğin ; - 6 < - 2 iken her iki taraf ( - 3 ) ile çarpılırsa :

 

 ( - 6 ) . ( - 3 ) > ( - 2 ) . ( - 3 )             18 > 6  şeklinde yön değiştireceğine dikkat ediniz.

 

         Aynı şekilde 18 > 4 eşitsizliğinin her iki yanı ( - 2 ) ile bölünürse yön değişir.

                                                                                                                                                     

  18 > 4             18   <    4

                   -2         -2

     

                 -9  <  -2

         

 

 

 

3.      a ve b aynı işaretli iki reel sayı ve a > b ise 

                      

                       1   <   1     dir.        

  a         b

          Yani ; eşitsizliğin her iki yanı ters çevrilirse eşitsizlik yön değiştirir. a ve b  ters işaretli ise bu sayıların  ters            

          çevrilmesi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

 

ÖRNEK :

 

a )      8 > 3           1  <  1

                             8       3       

 

b )      2 < 5          1   >  1

                             2       5       

 

c )      -6 > - 20           - 1  < -  1

                            6         20

 

d )     - 1 < - 1           - 2 > - 3            

           2       3

 

   e )      - 5 < 7           -  1 < 1

                        5    7

 

4.          n pozitif tam sayı olmak üzere

 

Metin Kutusu: 0 < a < b ise an  <  bn      . 

 

 

Örneğin ;

2 < 5         23  < 53           8 < 125

 

            1   <   1              1     2  <     1     2

3        2              3                2

 

                           1   <  1     tür.

                           9       4

 

5.    n pozitif tam sayı olmak üzere

 

Metin Kutusu:                               I. n çift iken an > bn
a < b < 0 ise
II  n tek iken an < bn

 

dir.

 

          

            Örneğin ;

- 4 < - 2            - 4   2 >    - 2   2

 

      

- 5 < - 3             - 5   3 <   - 3   3    

6.            n  €  Z  n ≥  2  olmak üzere

     

Metin Kutusu: 0 < a <  1 ise an < a

dır.

 

           ( 0, 1 ) aralığındaki sayıların ( basit kesirlerin ) pozitif artan kuvvetleri arttıkça sayı küçülür.

 

          

Metin Kutusu: NOT :
0 < a < 1  ve  n  €  Z+  ise  a n <  a n-1  dir.
           

 

 

 

 

ÖRNEK :

 

a )              1     3  <       1    21

                  2                 2           2

 

 

b )              3    2    >        3    3

                  7                    7      

 

               
       
 


c )              2     a   >        2    b           a  <  b

                  5                    5

 

7.

Metin Kutusu: a < b   ve b < c    	  a < c 

       dir.

 

 

8.                            a  <    b

                  +  c  < d

                a + c <   b + d      dir.      

                 

                (aynı yönlü eşitsizlikler alt alta toplanabilirler . )

 

 

ÖRNEK :

 

a )              x < 5  ve  5 < y  ise  x < y    dir.

 

b )             - 11  <     2

                 +  2   <  +  5

                  - 9   <     7    

 

c )               a  ve  b  reel sayı olmak üzere

                   a < b < 8  ise        a   <   8

                                            +  b   <   8

                                      a  +  b  <  16         olur.

9.                    a , b , c , d pozitif reel sayılar olmak üzere ;

  a  >  b

  c  >  d  ise  a . c > b . d  dir.

 

              Örneğin ;

2  <  3

                    x  4  <  5  

                   2 . 4  <  3 . 5                     8 < 15    olur.

 

 

Metin Kutusu: UYARI :
a , b reel sayılar olmak üzere 0 < a < b < 1 ise
I )        a . b < 1		II )       0 < a < 1
b
III )     1 > 1                          IV )      1   >  1
a     b       		           a .b
V )    1 + 1 > 2
a     b
eşitsizlikleri daima doğrudur.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

 

REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI :

 

1.        Kapalı Aralık :

 

a ve b  reel sayılar olsun.

   a ≤ b x ≤ b eşitsizliğini sağlayan x reel sayıları içine alan küme [ a , b ] şeklinde gösterilir  ve böyle aralıklara kapalı                                           aralık  denir.

                                                             R

                             a             b

  

   2.       Açık Aralık :

 

   a , b  €  R    ve a < b  olsun

    a < x < b eşitsizliğini sağlayan x reel sayılarının  kümesi ( a , b ) şeklinde gösterilir ve böyle aralıklara açık aralık denir.

     ( a , b ) açık aralığında a ve b uç noktalarının kümeye ait olmadığına dikkat ediniz.

                                                                 R

                             a                 b

     [ a , b ) ve ( a , b ] şeklinde gösterilen aralıklara yarı açık aralıklar denir.

   

 

 

ÖRNEK :

 x  ve  y  reel sayılardır.

      - 5 < x < 3

      - 2 < y < 9  olduğuna göre 

       a )     4x – 3y ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı değerleri kaçtır?

       b )     x2  ile y2  nin en geniş değerler aralığı nedir?

       c )      x . y nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerleri nelerdir?

     ÇÖZÜM:

  x  ve  y nin reel sayılar olarak verildiğine dikkat edilmelidir.

a )        4x – 3y ifadesini elde edebilmek için ;

            -5 < x < 3 eşitsizliğinin her üç yanını 4 ile

            -2 < y < 9 eşitsizliğini de -3 ile çarpalım ve alt alta toplayalım.

            -5 < x < 3               -20 < 4x < 12

                  -2 < y < 9               6 > -3y > -27

                                                  -27 < -3y < 6

                 -20 < 4x  < 12

     +     -27 < -3y < 6

                           -47 < 4x-3y < 18      olur.

                 O halde 4x  -  3y  nin alabileceği en küçük tamsayı değeri -46, en büyük tamsayı değeri 17 olur.

     b )        -5 < x < 3          0 ≤  x2 < ( -5 )2

                                                        0 ≤ x2 < 25

                 -2 < y < 9            0 ≤ y2 < 92

            0 < y2 < 81     olur.

 

     Metin Kutusu: :    UYARI :
a, b  ve  c pozitif sayılar iken
a < b < c    a2 < b2 < c2     olur.
2 < x < 5    4  < x2 < 25    gibi.

 

 

 

 

 

 

 

 


  

 

 

 

 

c )           -5 < x < 3

               -2 < y < 9  eşitsizlikleri alt alta çarpılmaz . Çünkü dört sınırında pozitif sayı olması gerekir.

                Böyle hallerde x . y nin alt ve üst sınırlarını bulmak için alt alta ve çapraz olarak çarpmalar yapılır. Elde

edilen  sonuçların en küçüğü alt sınır , en büyüğü de üst sınır olarak alınır.

                

               ( -5 ) . ( -2 ) =  10

                           3 . 9 =  27   *          -45 < x . y < 27  olur.

                     ( -5 ) . 9 = -45   *

                     ( 3 ) . -2 = -6 

                

               O  halde x . y nin en küçük tamsayı değeri -44 , en büyük tamsayı değeri 26 olur

 

    ÖRNEKLER :

   Örnek  : 

          2 < x < 3   ve  -1 < y < 2 olmak üzere , 2x – y  ifadesinin alabileceği tamsayı değerlerin toplamını  bulalım.

      Çözüm   :

           2 < x < 3             2 . ( 2 < x < 3 )                  4 < 2x < 6

          -1 < y < 2            -1 . ( -1 < y < 2 )           +  -2 < -y < -1

                                                                                2 < 2x < -y < 7     olur.

 

          2x –y   sayısı   3 , 4 , 5 , 6  tamsayı değerlerini alabilir.

          Bunların toplamı , 3 + 4 + 5 + 6 = 18 dir.

 

    Örnek  :

           a . b2 < 0 ,  a . c > 0  ve  b3  < 0 olduğuna göre , sırasıyla a , b , c sayılarının işaretlerini bulunuz.

                                                 c5

    Çözüm :    

             a . b2 < 0  ise   a  ile b2 ters işaretlidir.

             b2 > 0 olduğuna göre, a < 0  dır ……..*

             a . c > 0 ise   a  ile  c aynı işaretlidir.

             a < 0   olduğuna göre, c < 0  dır…..*

             b3 < 0  ise    b3 ile  c5 ters işaretlidir.

             c5

             c < 0 olduğu için c5 < 0 olacağından b3 > 0 olmalıdır.

             b3 > 0 olduğuna göre , b >0  dır …….*           

            O halde a , b , c sayılarının işaretleri sırasıyla  - , + ,- dir.

 

 

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

   a € R  ve  a ≠ 0 olmak üzere ax + b > 0 ,

   ax + b ≥ 0 ,   ax + b < 0  , ax + b ≤ 0 şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

   Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak demek , verilen eşitsizliği sağlayan x reel sayılarını bulmak demektir. Aksi

   belirtilmedikçe  eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayıların bir alt kümesidir.

 

   ÖZELLİKLER :

  1 )     x > y  ise                 

           x + a > y + a                      ( Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.

           x – a > y – a   

 

   2 )     x > y  ve  a > 0   ise     x . a > y .a    veya   x  >  y   

                                                                                 a      a

            ( Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik bozulmaz. )

 

   3 )     x > y  ve  a < 0   ise     x . a < y . a    veya   x  <  y

                                                                                  a      a

            ( Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. )

 

f ( x ) = ax + b iki terimlisinin işaret tablosu

                        

    

Metin Kutusu: ax + b = 0 ise   x = - b
a

 

 

                                                                    - b

                               x     - ∞                            a                           + ∞ 

 

                        ax + b    a nın işaretinin tersi         a nın işaretinin aynı  

 
 
 

 


 Örnek  :

         

          3x – 7  ≤ 2x – 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?

 

 Çözüm 1   :

       

           3x – 7 ≤  2x – 3

           3x – 2x ≤  -3 + 7

           x ≤ 4

           Ç. K. (-∞ , 4 )

 

 Çözüm 2  :

        

          3x – 7 ≤ 2x – 3

          3x – 7 – 2x + 3 ≤  0

          x – 4 ≤  0

          x – 4 = 0   ise   x = 4

   

                        x      - ∞                                4                             + ∞

 
 
 


               x – 4 ≤  0               ­__                                     +

 
 
 


                                       çözüm aralığı

             

              Ç.K = (- ∞  ,   + ∞    )     bulunur.

   

 

 

 

 

 

 Örnek  :       

          

             ( x + 5 ) ( x – 3  ) ≥ ( x + 2 ) ( x + 1 )

            eşitsizliğini sağlayan en büyük x tamsayısı kaçtır ?

   Çözüm    :              

          

            ( x + 5 ) ( x – 3 ) ≥  ( x + 2 ) ( x + 1 )

            x2 – 3 x + 5x – 15 ≥ x2 + x + 2x + 2

            x2 + 2x – 15 ≥  x2 + 3x + 2

-15 – 2  ≥ 3x – 2x

x ≤ - 17

En büyük x tamsayısı = - 17   bulunur.

  

   Örnek    : 

  

1  ≤  2x – 5  < 3  eşitsizliğini sağlayan x  tamsayılarının toplamı kaçtır ?

                          3

    Çözüm      :

 

 -1 ≤ 2x -5 < 3  ( Her tarafı 3 ile çarpalım . )

            3

  -3 ≤  2x – 5 < 9  ( Her tarafa  +5 ilave edelim .)

  -3 + 5 ≤  2x – 5 + 5 < 9 + 5

   2 ≤  2x < 14  ( Her tarafı 2 ye bölelim )

   1 ≤  x  <7 

  

    x tamsayılarının toplamı  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6  =   21  bulunur.

 

 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER :

 

     a , b , c  € R  ve  a  ≠  olmak üzere 

     ax2 + bx  + c  > 0  ,          ax2 + bx + c ≥ 0

     ax2 + bx  + c  < 0  ,          ax2 + bx + c ≤ 0

    

     şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Çözüm kümesi bulunurken  :

    Önce ax2 + bx + c = 0  denkleminin reel köklerinin olup olmadığına bakacağız.

     Köklerin varlığı ; ∆ = b2 – 4ac  ya bağlı olduğundan 3 madde halinde inceleyeceğiz.

   

  1.     ∆ = b2 – 4ac > 0  ise x1 ve x2 gibi birbirinden farklı iki farklı reel kök var.

              ( x1 < x2 )  olsun .

               Kökler küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirilir.

               Kökler arası  a  nın   işaretinin tersi

               Kökler  dışı   a  nın   işaretinin  aynı

               Bunu tablo ile gösterirsek

 

                          x       - ∞                    x1                          x2                         + ∞

                                    a  nın işaretinin        a nın  işaretinin           a nın işaretinin

              ax2+ bx +c           aynı                        tersi                          aynı

 
 
 


2.       ∆ = b2 – 4ac = 0 ise x1 = x2 ( kökler çakışık )

           Bu durumda f (x ) = ax2 + bx + c nin işareti  f ( x ) in sıfır olduğu değer dışında a ile aynı olur.

          Tablo ile gösterirsek

         

                            x      - ∞                x1 = x2                               + ∞  

 

           ax2 + bx + c      a nın işaretinin            a nın işaretinin

                                           aynı                         aynı   

 
 
 


3.       ∆ = b2 – 4ac < 0  ise ax2 + bx +c  = 0 denkleminin reel kökü yoktur.

          f ( x ) = ax2 + bx +c nin işareti her x sayısı için a  nın aynı olur.

          Tablo ile gösterirsek

 
 
 


                                  x     - ∞                           + ∞ 

                 ax2 + bx + c         a  nın  işaretinin aynı

 
 
 


                                                        

 

             Metin Kutusu: UYARI  :
f ( x ) = ax2 + bx + c üç terimlisinin daima pozitif olması için
∆ < 0     ve     a > 0   olmalı
                                                  

 

 

 

 

 

      

Metin Kutusu: UYARI :
f ( x )  = ax2 + bx +c  üç terimlisinin daima negatif olması için
∆ < 0     ve    a < 0      olmalı

 

 

 

 

 

ÖRNEK    :

                                x2 – x – 6 ≤  0  eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?

ÇÖZÜM   :

               x2 – x – 6  ≤  0 

               x2 – x – 6  =  0  ise  ( x – 3 ) ( x + 3 )  =  0

                                               x  =  3   ve   x  =  -2

                a = 1 > 0   a nın  işareti  ( + )

                işaret tablosunu yapalım.

 

                                     x     - ∞             -2                     3                      + ∞

      __                                           

 
                                                                                             

                 x2 – x – 6 ≤ 0              +                                  +                                                                         

          

                                                                   Ç . K.                                       

 

             Ç . K.  =  [- 2 , 3 ] bulunur.

 

ÖRNEK   :   

           

             x2 – 3x – 4  ≥  0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?

 

 ÇÖZÜM    :

 

             x2 – 3x – 4  ≥  0

             x2 – 3x – 4  =  0    ise  ( x – 4 ) ( x + 1 ) = 0

                                                  x = 4      ve     x = -1

            

            a = 1 > 0  anın işareti ( + )

            işaret tablosunu yapalım.

 

             

                            x      - ∞            -1                      4                                               + ∞

                   +

 

      +

 
 

            x2+ 3x -4 ≥ 0                                                  ___

 
 
 


                                        Ç . K                                             Ç . K .

 

             

               Ç. K. = ( - ∞ , -1 ] U [ 4 , ∞ ) 

               Ç. K  = R ( -1 , 4 )  bulunur.

 

 ÖRNEK     : 

            

              x2 < 3x + 10 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?

 

  ÇÖZÜM     :

             

              x2 < 3x + 10

              x2 – 3x – 10 < 0

              x2 – 3x – 10 = 0    ise    ( x – 5 ) ( x + 2 )  =  0

                                                      x =  5    ve    x =  -2

 

              a =  1 > 0  a nın işareti   ( + )

              Tablosunu yapalım

 
 
 


                        x       - ∞                  -2                          5                          +∞

 
 
 


      x2- 3x – 10 < 0            +                                                             +

 
 
 


                                                                   Ç. K.

 

      Ç. K. :  -2 < x < 5

       x tamsayılarının toplamı  =  -1 +0 +1 + 2 + 3 + 4 = 9   bulunur.

 

 

 

ÖRNEK   :    

             2x2 > 13x – 6  eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?  

 

ÇÖZÜM   :

            

              2x2 > 13x – 6

              2x2 – 13x + 6 > 0

              2x2 – 13x + 6 = 0  ise  ( 2x – 1 ) ( x- 6 ) = 0

                                                   x = 1    ve   x = 6         

                                                         2

              a = 2 >0  a nın işareti ( + )

              İşaret tablosunu yapalım

 

                                                                     1

                                    x        - ∞                  2                            6                      + ∞

 
 
 


             2x2 – 13x + 6 > 0                                          __                           

  

                                                Ç.K.                                         Ç.K

           Ç.K. :   - ∞ < x < 1   V   6 < x < ∞       

                                       2

            x  tamsayılarının toplamı 

                      =  0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 ..…..  + 7 + 8 + 9 + 10 …….

                      = - 1 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6

                      = - 21       bulunur.

 ÖRNEK     :

          Karesinin 35 eksiği kendisinin 2 katından küçük olan kaç tane doğal sayı vardır ?

ÇÖZÜM     :

             Sayı x olsun.

             Karesinin 35 eksiği = x2 – 35

             Kendisinin 2 katı     = 2x

             x2- 35  <  2x

             x2 – 2x – 35 < 0

             x2 – 2x – 35 = 0       ise     ( x – 7 ) ( x + 5 ) = 0

                                                          x =  7  ve  x =  -5

             a = 1 > 0    a nın işareti  ( + )

             İşaret tablosunu yapalım.

 

 
 
 


                                    x      - ∞          -5                     7                        + ∞  

 
 
 


             x2 – 2x – 35 < 0           +                                               +

 
 
 


                                                                     Ç.K.

                                                                                                          

              Ç. K. : -5 < x < 7

              x € N olduğundan

              x = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }  olmak üzere

              7  tane doğal sayı vardır.

 

ÖRNEK   :

 

              x2 + ( m + 4 )x + 15 ifadesinin daima 6 dan büyük olmasını sağlayan kaç tane m tamsayısı vardır.

 

 ÇÖZÜM   : 

 

               Daima ax2 + bx + c > 0  olması için

                           ∆ < 0   ve   a < 0   olmalı .

                x2 + ( m + 4 )x + 15 > 6

                x2 + ( m + 4 )x + 9 > 0

                a = 1 > 0

                ∆ = b2 – 4ac = ( m + 4 )2 – 4 . 1 . 9 < 0

                                        ( m + 4 )2 – 36 < 0

                                         m2 + 8m – 20  < 0    

                                         m2 + 8m – 20  = 0      ise

                                         ( m + 10 ) ( m – 2 ) = 0

                                         m = - 10 ,   m = 2  

     

                

                                  x      -∞               -10                       2                                    + ∞

       _____

 
                                         

           m2 + 8m – 20 <0            +                                                     +      

                                             

                                                                       Ç.K.

 

         Ç.K.  = -10 < m < 2

          m tamsayıları  : 2 – ( - 10 ) – 1 = 2 + 10 – 1

                                                         =  11   tanedir .

     

  

            

Metin Kutusu: NOT :
a ,b ,  x  € Z  iken
1.         a  ≤  x  ≤  b   ise
x tamsayılarının sayısı  =  b – a + 1   tane
2.         a  ≤  x  <  b   veya    a  <  x  ≤  b   ise
x tamsayılarının sayısı   =  b – a      tane
3.         a  <  x  <  b  ise
x tamsayılarının sayısı  = b – a – 1   tane

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK     :

            

            x € R için

            ( 1 – a ) x2 +  x – 4 < 0  ise  a ne olmalıdır ?

            

ÇÖZÜM     :

           

             x € R olduğu için  ( 1 – a ) x2 + x – 4 < 0 olması için,

                                 1.     1- a < 0               1 < a  olmalıdır.

                                 2.     ∆ = b2 – 4ac < 0   olmalıdır

             ( 1 ) 2 – 4 . ( 1 – a ) . ( - 4 ) < 0 

              1 + 16 – 16a < 0              

              17 < 16a

              17  <  a     bulunur.                                  

              16            

 

ÇARPIM VE BÖLÜM BİÇİMİNDEKİ EŞİTSİZLİKLER

 

   f ( x ) = P ( x ) . Q ( x ) . R ( x )  veya

 

   f ( x ) = P ( x ) . Q ( x )

             R ( x )

 

   f ( x ) > 0 , f ( x ) ≥ 0 , f ( x ) < 0 , f ( x ) ≤ 0   eşitsizliklerinin çözümünde  :

 

 KURAL   :

           1.     En büyük dereceli terimlerin işaretleri çarpılır.

              2.       Kökler bulunur, küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirilir.

              3.       Tablo sağdan (+ ∞ tarafından ) 1. birinci kuralda bulunan işaretle başlar. Tek katlı köklerde işaret

                        değiştirilir , çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden geçilir.  

                        [  Tek katlı kök : aynı kökten  1 , 3 , 5 , 7 …..  gibi tek sayıda varsa

                           Çift katlı kök :  aynı kökten 2 , 4 , 6 , 8 …..  gibi  çift sayıda varsa   ]

 

             NOT :

 

             Çift katlı kök  x = a  ise  tabloda

 

                                                         a

 

 

 

 


                    şeklinde göstermekte yarar vardır.

 

             Metin Kutusu: UYARI     :
Paydanın kökü ifadeyi tanımsız yapacağından çözüm kümesinin elemanı olamaz.

 

 

 

 

 

       NOT    :

 

             Paydanın kökü x = b ise tabloda

 

                                                               b

 

                                                              

 
 
 


 

             şeklinde göstermekte yarar vardır.

 

   ÖRNEK   :  

              

               ( x – 7 ) ( x – 1 )   ≤   0    eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?

                     ( x – 3 )2

 

    ÇÖZÜM   :

 

                +                  +

              ( x – 7 ) ( x – 1 )    ≤  0

                    ( x – 3 )2

                     

              ( + ) ( + ) ( + )  = + ( tablo sağdan + ile başlar )

               x – 7 = 0  ise  x = 7

               x – 1 = 0  ise  x = 1

              ( x – 3 )2 = 0  ise  x = 3 çift katlı kök  ve  paydanın kökü 

              

              İşaret tablosunu yapalım

     

                      x     - ∞           1                   3                          7                       + ∞ 

      ___        ∞      __

 
                 

          f ( x ) ≤ 0          +                                                                  +

                                                    

                                                   Ç.K.                Ç.K

 

             Ç.K  : 1 ≤ x < 3  V  3 < x ≤ 7

             Ç.K  : [ 1 , 3 ) U ( 3 , 7 ]

             Ç.K  : [ 1 , 7 ] { 3 }

             

               eşitsizliği tamsayıların toplamı  =  1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7

                                                            = 25  bulunur .

 

  

 

 

 

 

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ              

 

   İki veya daha fazla eşitsizliğin çözümü söz konusu olduğunda ; eşitsizlikler ayrı ayrı çözülür , elde edilen çözüm

   kümelerinin   arakesiti ( kesişimi ) alınarak eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi elde edilmiş olur.

  

   ÖRNEK   :

    

                2 - x  > 0     

                x – 6                     eşitsizlik sisteminin ortak çözüm aralığı nedir ?

   

                9        <  0

               x - 5

 

 

   ÇÖZÜM   :

                    _

               2 - x   > 0     ,   ( - ) ( + ) = ­-

               x – 6     

               +                                   2 – x = 0    ise    x = 2

                                        x – 6 = 0    ise    x = 6

       

                 +               

                 9       <  0       ,     ( + ) ( + ) = +

                 x – 5

                 +                                      x – 5 = 0    ise

                                             x = 5   

              

                  İşaret tablosu

                 

                                        x     - ∞          2                   5                  6                      +∞

     +               +

 
                    

 
                 2 – x   > 0       ___                                                         ___

                 x – 6                   

 
 
 


                     9    < 0                                                  +                     +

                  x – 5

                                                            Ç.K.      

 

                    Ç.K. : ( 2 , 5 )    bulunur.

 

              

                

  MUTLAK DEĞERLİ BASİT EŞİTSİZLİKLER

         

   1 ) a > 0 ,│x│ ≤  a           - a  ≤  x  ≤  a  dır.      

                                                                x

                                                                                                          R

                                     -a                       0                       a                                       

            

    2 ) │x │ ≥ a           x  ≥  a   veya   x  ≤  - a   dır.

  

                                              X                                                                                             X        

                                                                                                               R

                                         -a                       0                       a                       

  

    3 )   a < │f ( x ) │ < b   ise    

                                         I  )    a < f ( x )  <  b veya

                                         II )    a < - f ( x) < b   dir.      

                                                                                                            

             UYARI :

              a  )         │x │ ≥  0 ,  (      X   €  R için  )

             

              b  )         │x │ = │y│           x2  =  y2

 

              c  )         │x │ > │y│           x2  >  y2

       

              d  )         │x │ = │y│           x = y   veya  x = -y

 

 

ÖRNEK      :

 

            │2x – 3│ =  2002  ise  x  in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ?

 

ÇÖZÜM      :

        

              2x – 3 =0   ise  x =  3

                                              2

 

               x  in alabileceği  değerlerin toplamı  2 . 3   =  3   bulunur.

                                                                               2

 

 

  ÖRNEK      :

             

               │X – 2│ + │2 – X │ = 10   denkleminin çözüm kümesi nedir ?

 

   ÇÖZÜM     :    

      

               X – 2│ = │2 – X │  olduğundan

             

               X – 2│ + │2 – X │ = 10     ise  2│ x – 2│ = 10

 

                X – 2│ = 5

 

                A )        x – 2  =   5       ise      x = 7

                B )        x - 2   = -5       ise       x = -3

                Ç. K.  = { -3 , 7 }    bulunur.     

EŞİTSİZLİKLER 

A. TANIM
f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.
Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

B. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.

*

*
C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.

1)* D > 0 ise,

*

*
2)* D = 0 ise,

*

*
3)* D < 0 ise,

*

*

1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır.
2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır.
3) a < 0 ve D < 0 ise,
*** f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir.

Ü* Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.
1. Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
2. Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.
3. Adım : Sistemin işareti bulunur.
Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.
4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.
5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.
Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.

Ü* Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.

*
(x + 1)100 = 0 ª x = – 1 çift katlı köktür.
(x – 1)99 = 0 ª x = 1 tek katlı köktür.
*
Ü* çözüm kümesine;
*
**** P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,
**** Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.
*
Ü* çözüm kümesine;
*
**** P(x) = 0
**** Q(x) = 0
sağlayan x değerleri alınmaz.
*
D. EŞİTSİZLİK SİSTEMİ
İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.
Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.

Ü* f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve
*** g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise
** sisteminin çözüm kümesi
** Ç1 Ç Ç2 dir.
*
E. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ
f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.
D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.


*
F. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN* KÖKLERİNİN BİR 
*** GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI
f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.
*********************************************

 
  Bugün 11 ziyaretçi (24 klik) kişi burdaydı!
Get your own Chat Box! Go Large!
 
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=