Konu anlatımı soru çözümleri
  ParaBOl
 

Parabol, bir düzlemde alınan sabit bir d doğrusu ile sabit bir F noktasından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri.


Sabit F noktasına parabolün odağı, d doğrusuna da parabolün doğrultmanı denir.

AF doğrusuna parabol ekseni denir. Parabol, bu eksene göre simetrik iki koldan ibarettir.

Parabole ait herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş; odakta eksene dik olan [MN] kirişinin yarısına parametre denir ve p ile gösterilir. Parabolün, ekseni kestiği noktaya (A noktasına) köşe adı verilir. Parabol üzerindeki her noktanın odak noktasına olan uzaklığı, doğrultmana olan uzaklığına eşittir. Yani |MF|= |ML|'dir.

Parabolün simetri ekseni X ekseni ve A köşesi (0,0) noktası (yani başlangıç noktası) alınırsa parabolün standart denklemi y² = 2px olur (p parabolün parametresidir). Odağın koordinatları F(p/2, 0) olur.

Doğrultman denklemi X = p/2 şeklinde olur.

Eğer parabol eksenini OX ekseni değil de OY ekseni olarak alınırsa ve köşesi de yine O(0,0) noktası olursa Parabolün denklemi x² = 2py olur. Doğrultman denklemi y = -p/2'dir.Parabolun doğru ile durumları da olabilir. Parabolde verilen denklemlerde alınan tepe noktası ( odak ) bulmak için kesim denklemi verilen parabolün -b/2a sı alınır. yani r bulunur . r parabol denklemine yazıldığında k nın görüntüsü olur.
******************************************************************************************

PARABOL

 

A. TANIM

 olmak üzere,  tanımlanan
f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara 
ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

      

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği (parabol), yandaki gibi kolları yukarı doğru olan ya da kolları aşağı doğru olan bir eğridir.

 

Kural

  

  fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);

  y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir.

  x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0, apsisleri
f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

 

Kural

  denkleminde,

 D = b2 – 4ac olmak üzere,

  D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.

  D < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.

  D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

 

 

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.

Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x1 ile x2 nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.

 

Kural

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,

 

Sonuç

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri ekseni x = rdoğrusudur.

 

Uyarı

f(x) = ax2 + bx + c ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel halidir.

Bu fonksiyon düzenlenerek f(x) = a(x – r)2 + k hâline dönüştürülürse, tepe noktasının T(r, k) olduğu görülür.

 

Kural

 fonksiyonunun grafiğinde (parabolde),

 a > 0 ise kollar yukarıya doğru,

 a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur.

Buna göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir:

 

Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

 

 

C. PARABOLÜN GRAFİĞİ

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.

2) Parabolün tepe noktası bulunur.

3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

 

Kural

 A)  olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun.

  a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir.

  a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir.

 B) Parabolün tanım aralığı  yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:

  f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.

  f(a) ile f(b) hesaplanır.

  a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

  b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; f(a),
f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

 

 

D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.

(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;

b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

 

Kural

x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen parabolün denklemi,

      f(x) = a(x – x1)(x – x2) dir.

 

Kural

Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi,

      y = a(x – r)2 + k dir.

 

 

E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ

Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

 

F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ

y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.

f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.

Özel olarak,

f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0

denkleminin diskriminantı D = (b – m)2 – 4a(c – n) olsun.

D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.

D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.

D = 0 ise doğru parabole teğettir.
********************************************************************************************
Parabol Örnek Sorular ve Çözümleri;





 
  Bugün 10 ziyaretçi (21 klik) kişi burdaydı!
Get your own Chat Box! Go Large!
 
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=