LOGARİTMA
I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)
Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.
A. ÜSTEL FONKSİYONLAR
olmak üzere,
biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.
a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.
B. LOGARİTMA FONKSİYONU
olmak üzere,
biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
şeklinde gösterilir. Buna göre,
dir.
y = logax ifadesinde 
sayısına 
sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.
C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
Kural
|
1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,
|
Kural
|
Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,
|
Kural
Kural
Kural
Kural
D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.
1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.
1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.
Kural
|
 x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.
0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.
|
E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = logax fonksiyonunda taban
ℓ = 2,718281828459045235360287471352... alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,
İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır.
II. LOGARİTMALI DENKLEMLER
Özellik
|
a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,
 logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.
logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.
Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.
Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.
|
III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
Kural
|
logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.
|
LOGARİTMA :
a ve y gerçek sayılar olmak üzere;
ax = y
eşitliğini sağlayan x sayısına y sayısının a tabanına göre logaritması denir ve
x = logay
şeklinde gösterilir.
LOGARİTMANIN GENEL ÖZELLİKLERİ :
Üstel Sayıların Logaritması :
m sayısının n nci merteden üssünün logaritması m sayısının logaritmasının n ile çarpımına eşit olup
şeklinde gösterilir. Bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
ifadesinin her iki tarafının a tabanına göre logaritması;
olacağından ve ayrıca;
yazılır ve logaritması alınırsa;
elde edilir. Yukarıdaki x değeri yerine konulursa;
elde edilir.
Çarpımın Logaritması :
m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları toplamına eşittir.
Bunun doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
her iki eşitliğinin de a tabanına göre logaritması alınırsa
yazılır. Ayrıca
eşitliğin her iki tarafının a ya göre logaritması alınırsa
x ve y değerleri yerine konulursa;
elde edilir.
Bölümün Logaritması :
m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları faarkına eşittir.
Bunun doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
her iki eşitliğinin de a tabanına göre logaritması alınırsa
yazılır. Ayrıca
eşitliğin her iki tarafının a ya göre logaritması alınırsa
x ve y değerleri yerine konulursa;
elde edilir.
Değişik Tabanlı Logaritma :
Bir m sayısının b tabanına göre logaritması bilinirse a tabanına göre logaritmasının nasıl hesaplanacağını görelim.
ise; 
yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının b tabanına göre logaritması alınırsa
ve
bağıntısı elde edilebilir. x değeri yukarıdaki eşitlikte yerine konursa
bağıntısı elde edilebilir (Örnek 1, 2, 3 ).
Örnek : 
sayısının değerini logaritma kurallarından yararlanarak hesaplayınız.
Çözüm :
