KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR

 

 

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

 Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

 

A.   TANIM:

  a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

 C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1  Þ i² = -1 dir.)

  z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  yekarmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

 

Örnek:

 Z1 = 3 + 4i,  Z2 = 2 – 3i,  Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 - 3i  Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 =  Ö3 + i  Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 =  7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i  Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

 

Örnek:

            x² - 2x + 5 = 0     denkleminin çözüm kümesini bulalım.

 

Çözüm:

 

 Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

 Δ = b² - 4ac = ( -2) ² -  4.1.5 = -16 = 16.i²

  X1,2 = -b ± ÖΔ   =  -(-2) ± Ö16i² =  2 ± 4i  = 1 ± 2i  dir.

              2a                   2.1              2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.

 

 

 

 

 

 

 

B.    İ ‘NİN KUVVETLERİ

 

 iº = 1,  i¹ = i,  i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁵ = i, ...

 Görüldüğü gibi  i  nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

 

Buna göre , n Î N olmak üzere,        i4n = 1      i4n + 1 =  i      i4n + 2  = -1      i4n + 3 =  -i   dir.

 

 

Örnek:

 

  ( i¹⁴  +  i¹⁵ + 1 ).( i⁹⁹ +  i¹⁰⁰ – 1)  işleminin sonucunu bulalım.

 

Çözüm:

 i¹⁴  =  (i⁴)³.i² = 1³.(-1) = -1

 i¹⁵  =  (i⁴)³.i³  = 1³.(-i)  = -i

 i⁹⁹  =  (i⁴)²⁴ .i ³ = 1²⁴.(-i) = -i

 i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1²⁵ = 1  olduğu için,

 

 (i²⁴ + i¹⁵ + 1).(i⁹⁹ + i¹⁰⁰ – 1) = (-1 – i  + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i² = - 1  dir.

 

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

 

 Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

 

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2  ↔ (a = c ve b = d) dir. Z2 = c + di }

 

 

 

 

 

 

 

 

 Örnek:

          Z₁ = a + 3 + 2bi + 3i

               Z ₂ = 8 + (a + b)i

                  Z₁ = Z₂                 olduğuna göre, b değerini bulalım.

 

Çözüm:

  Z₁= (a + 3) + (2b + 3)i,  Z₂ = 8 + (a + b)i  ve  Z₁ = Z₂  olduğundan,

   a + 3 = 8 Þ  a = 5

   2b + 3 = a + b Þ  2b + 3 = 5 + b Þ b = 2  dir.

 

Örnek:

   Z₁ = (a + b + 3) + (a – 2)i

   Z₂ = 0

   Z₁ = Z₂     olduğuna göre, a.b değerini bulalım.

 

 

Çözüm:

 Z₁ = Z₂  olduğundan,

 a – 2 = 0 Þ a =2,

 a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.

O halde,  a.b = 2.(-5) = -10 dur.

 

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 

 

 

_   Z = a + bi karmaşık sayı ise   Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

 

 

Örnek:

                                                     _

1) Z₁ = 4 + 3i sayısının eşleniği   Z₁ = 4 - 3i,

                                                          _

2) Z₂  = Ö2 - Ö3i  sayısının eşleniği   Z₂  = Ö2 + Ö3i,

                                                   _

3) Z₃ = -7i   sayısının eşleniği   Z₃ = 7i,  

                                                 _

4) Z₄ = 12  sayısının eşleniği  Z₄ = 12,

                                                                                    _{_}

5) Z₅ = Ö3 - Ö2  sayısının eşleniği  Z₅ = Ö3 - Ö2   dir.

 

 Örnek: 

Z = a + bi olmak üzere,

                         _         

                    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre,  a + b toplamını bulalım.

 

  Çözüm:

                      _                      

                 3 . Z – 1 = 2(4 – i)

                 3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

                 3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan,   3a –1 = 8    ve  -3b = -2 dir.

 

3a – 1 = 8  Þ  3a = 9  Þ  a = 3  ve

-3b = -2  Þ  b = 2/3  tür.

 

O halde,  a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

 

 

__ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir  ( ( z)  = z ) . 2) Reel katsayılı ikinci dereceden  ax2 + bx + c = 0  denkleminin köklerinden biri Z = m + ni                                                                                 _ karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan  Z = m – ni  sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

 

1) Toplama - Çıkarma

 

   Karmaşık sayılar toplanırken  ( ya da çıkar
***********************************************************

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve  ile gösterilir.

 

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı ve x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

 

 

A. i NİN KUVVETLERİ

      

olmak üzere,

i⁰ = 1 dir.

i¹ = i dir.

i² = –1 dir.

i³ = i² × i¹ = (–1) × i = –i dir.

i⁴ = i² × i² = (–1) × (–1) = 1 dir.

i⁵ = i⁴ × i¹ = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde, kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1, kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i, kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1, kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir. Buna göre, n tam sayı olmak üzere, i4n= 1, i4n+1 = i, i4n+2 = –1, i4n+3 = –i dir.

 

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi  ile gösterilir. Buna göre, z = a + bi karmaşık sayısında; a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı, b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir. z = a + bi ise Re(z) = a İm(z) = b şeklinde gösterilir.

 

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,  dir.

 

 

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

 

 

 

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

 

 

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 ve  i² = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilir.

Buna göre,

 

      

 

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,

 

 

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de, dir.

 

 

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

      

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

      

 

2. Çıkarma İşlemi

      z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

      

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

      

 

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di  olsun. Buna göre,

 

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

4. Bölme İşlemi

z₁ × (z₂)^–1 sayısına z₁ in z₂ ye bölümü denir ve  biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z₁ = a + bi ve z₂ = c + di ise,

 

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z₁ ve z₂ birer karmaşık sayı olmak üzere,

 

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

      |z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

      

 

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla       |z – w| = r eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.       |z – w| < r eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

 

 

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i² = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

      

 

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

      arg(z) ile gösterilir.

 olsun. Bu durumda,

 şeklinde gösterilir. 

Açının esas ölçüsü olan değere de  esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

      

yazılır. Buradan,

 

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,       z = |z| × (cosq + isinq) biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir. z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

 

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

 

Kural

olmak üzere,        Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

olmak üzere,        Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

 

Sonuç

 

Sonuç

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır.

 

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg(z – z0) = q koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

 

 

 

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,

      v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

 

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

 

 

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

 olmak üzere,

zⁿ = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

 

      

 

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir. Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise, z1 = –z2 dir.

 

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, ... , (n – 1) yazılarak bulunur.